图卷积网络 GCN

一句话说人话：GCN（Graph Convolutional Network）是一种在「关系网络」上传递信息的神经网络——每个节点靠和邻居「聊聊天、交换意见」来更新自己的信息，聊得越久，信息传得越远。

一、什么是「图」

先别被「图」这个词吓到。这里的图不是图片，而是一张关系网。它只有两个零件：

节点：网里的一个个对象。比如社交网络里的每个人。
边：对象之间的连线。比如两个人是朋友，就连一条线。

在空间转录组里，这张网非常自然：每个节点是一个 spot（组织切片上的一个位点），边表示两个 spot 有某种关系（离得近，或者表达模式像）。

二、邻接矩阵：一张「谁和谁相连」的表格

图在计算机里怎么存？最常用的就是邻接矩阵 A：

它是一个 N×N 的方阵（N = 节点数）。
A 的第 i 行第 j 列记作 Aij，它的取值表示「节点 i 和节点 j 是否相连」。
通常 Aij = 1 表示相连，Aij = 0 表示不相连。

生活类比：这就是班级里的**「谁和谁关系好」统计表**。表格有 50 行 50 列，第 3 行第 7 列填 1，就表示「3 号同学和 7 号同学是朋友」；填 0 就是「不熟」。

三、GCN 在做什么：邻居之间「传消息」

GCN 的核心操作非常朴素，可以总结成一句话：

每个节点的新信息 = 它自己和它所有邻居信息的（加权）平均。

生活类比——朋友圈的意见交换：

每个人心里都有一个「观点」（节点的特征向量）。
一次聚会（一层 GCN）之后，每个人会综合一下「自己和朋友们」的观点，更新自己的看法。
聚会多来几轮（堆叠多层 GCN），信息就会从朋友传到朋友的朋友，越传越远。

所以 GCN 的本质是信息在图上扩散、趋同：邻居之间互相看齐，大家的信息越来越像。

数学上大致是：H' = σ(Â · H · W)，其中 Â 是归一化后的邻接矩阵，H 是当前每节点的特征，W 是要学习的权重。你不用记公式，只需记住一件事：它在做「邻居特征加权平均」。

Â 决定“跟谁聚合”（谁是邻居） W 决定“怎么变换”（权重是多少）

反常识：CNN 默认选择了滑动窗口（卷积核）的像素，而 GCN 需要通过邻接矩阵来选择。

四、这篇论文里的两个图

FPS-MGCN 给 spot 建了两张不同的关系网（也就是两个不同的邻接矩阵）：

空间图（spatial graph）
- 连边规则：两个 spot 的欧氏距离 ≤ r（论文里 r = 550）就连边。
- 生活类比：「住得近的邻居」——物理上挨得近，就认为有关系。
- 作用：捕捉「空间上相邻的 spot，表达往往相似」这个规律。
特征图（feature/gene graph）
- 连边规则：对每个 spot 的基因表达向量算余弦相似度，取每个 spot 相似度最高的 K 个（KNN）连边。
- 生活类比：「兴趣爱好相似的朋友」——住得远没关系，只要表达模式像，就连起来。
- 作用：捕捉「表达模式相似的 spot，即便空间上不相邻，也可能属于同类」这个规律，还能顺便插补缺失值。

反常识：判断两个 spot 的基因表达是否相似，我们一般用的指标是基因表达向量。

基因表达向量：空间转录组实验得到的表达矩阵 = spot x 基因。故而，spot 的基因表达向量就是该 spot 在表达矩阵中的一行。

判断两个 spot 的基因表达相似性，是通过比较其基因的相对占比，而不是基因总量。故而我们比较的是基因表达向量的余弦相似度

注意这两种关系的区别：空间图是「近邻」，特征图是「知音」。一个有空间约束，一个没有。两者互补，这也是后面多视图学习与多视图聚类的雏形。

五、为什么论文需要它

空间转录组数据天然是图结构：spot 之间既有空间相邻关系、又有表达相似关系。GCN 正好能在这种关系网上做信息聚合，好处有：

去噪：单个 spot 的测序数据有噪声，用邻居信息「平均」一下更稳。
补缺失：某个基因在这个 spot 没测到，邻居有，可以推断过来。
利用空间连续性：组织里相邻位置往往同类，GCN 能把这种先验用起来。

但 GCN 也有个大毛病——它的「邻居平均」本质是一种低通滤波，会抹平剧烈的变化。而组织边界恰恰是剧烈变化的地方。这个毛病是后面傅里叶特征映射登场的直接原因，详见低通滤波与高频信号。

后续联动

概念	关系
空间转录组与空间域	GCN 处理的节点就是 spot，任务就是把 spot 聚成空间域
低通滤波与高频信号	GCN 的消息传递本质是低通滤波，这是它的先天局限
傅里叶特征映射	专门为补上 GCN 的「高频盲区」而设计的特征
多视图学习与多视图聚类	论文建了两个图 = 两个视图，每个视图各跑一个 GCN